Arbeitsblatt: Gesamtskrip Gm2

GEOMETRIE 2 Folgende Bezeichnungen werden dir in der Geometrie immer wieder begegnen. Merke sie dir! KAPITEL 1: VIERECKE Lies die Theorie auf den Seiten 9 und 10 aufmerksam durch. Damit du dir die Theorie besser einprägen kannst, schlage ich dir vor, den Text und die Figuren mit Farbe sinnvoll zu markieren. Löse im Buch (Seite 5) die Aufgaben 1 bis 3 als Repetition. Beispielaufgabe 1: Konstruiere das gesuchte Parallelenviereck ABCD, wenn folgendes gegeben ist: Eckpunkt B, Mittelpunkt (ist gleichzeitig auch der Diagonalenschnittpunkt) und der Punkt (ein Punkt auf der Seite CD). 1) Lies den Text genau durch und mache dir eine Skizze, bei der du von der die gegebenen Stücke farbig markierst. 5 1 2 3 4 2) Verbinde mit und spiegle an M, so erhältst du ( D). 3) Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt und Radius MB. 4) Verbinde mit und schneide diese Gerade mit dem Kreis, so erhältst du den Eckpunkt C. 5) Spiegle den Punkt an und du erhältst A. Nun musst du nur noch ABCD miteinander verbinden. Löse nun die Arbeitsblätter A1 und A2. Die erste Aufgabe vom Arbeitsblatt A1 sollte dir nun sehr bekannt vorkommen. Beispielaufgabe 2: Wir lösen hier nur die Teilaufgabe a: 1) Erstelle eine Skizze, bei der du alle gegebenen Grössen farbig einzeichnest und benennst. Es wird übersichtlicher, wenn du auch für das Skizzieren Zirkel und Massstab verwendest. 1 6 2 5 4 3 7 2) 3) 4) 5) 6) 7) Spiegle an und du bekommst Q. Schneide nun die Gerade PQ mit der Geraden und du erhältst A. Trage auf 7cm (AC) ab und du bekommst C. Zeichne die Mittelsenkrechte von AC. Der Schnittpunkt von dieser Mittelsenkrechten und der Gerade PQ ist der Punkt D. Der Schnittpunkt von dieser Mittelsenkrechten und der Gerade AQ ist der Punkt B. Verbinde nun zum Rhombus die Punkte ABCD. Löse nun im Buch (Seite 6 und 7) die Aufgaben 5, 6 ,7 und 9. Zusatzaufgabe ist das Arbeitsblatt 3. Die Bestimmung der Winkelsumme im Vieleck Lies die Theorie zur Bestimmung der Winkelsumme im Vieleck konzentriert durch. Als Beispiel wird ein Sechseck angeschaut. Nachher solltest du aber in der Lage sein, von jedem Vieleck die Winkelsumme bestimmen zu können. Mit deinen neuen Erkenntnissen sollten die folgenden Aufgaben nicht mehr allzu schwer sein: Buch Seite 7 und 8, Aufgaben 11 bis 14 Bitte lösen!!! Das Trapez Lies dazu die Theorie auf den Seiten 11 und 12 konzentriert durch. Bearbeite den Text auch mit Farben. Fülle die Tabelle im Buch Seite 8 Aufgabe 15 aus. Beispielaufgabe 3: Gegeben ist das Trapez ABCD: Gesucht sind die Länge der Seite und die Länge der Mittellinie m. Lösung: TIPP: Zeichne immer zuerst die Höhe ein! Hier ist das Trapez gedreht, die Höhe ist 3c. Wir kennen die Formel für die Flächenberechnung, nämlich · h. Um die Mittellinie zu erhalten, müssen wir also die Fläche durch die Höhe dividieren. m 15c 2 nun setzen wir unsere Grössen ein: und erhalten 5c. 3c Dass wir jetzt kennen, hilft uns, die Seite zu berechnen. Wir wissen nämlich, dass die Mittellinie die Hälfte der Summe von den beiden Seiten und ist. Also (a c : 2 Wir wollen bestimmen, also rechnen wir · 2 und subtrahieren c: (2 · m) – , nun setzen wir wieder unsere Grössen ein: (2 · 5c) – 9c. Wenn du das verstanden hast, löse die Aufgaben 16 bis 19 auf den Seiten 9 und 10. Löse als Repetition zur Flächenberechnung die Aufgabe 20 auf Seite 10. Löse die Aufgaben 21 bis 24, sowie 25a-c und 26a-c auf den Seiten 10, 11 und 12. KAPITEL 2: SENKRECHTE PRISMEN Lies dazu die Theorie auf den Seiten 51 bis 53 aufmerksam durch. Male jeweils die Deckund Seitenflächen mit zwei Farben aus. Hebe die Formeln farbig hervor. Beispielaufgabe 4: Im abgebildeten Quader ist ein Diagonalschnitt eingezeichnet. Wie ändert sich die Schnittfigur, wenn die Schnittebene ACGE um die Gerade AE gedreht wird? Ein Schnitt (man sagt auch Schnittebene oder Schnittfläche) ist die Figur, die entsteht, wenn der Körper durchschnitten wird. Stelle dir den abgebildeten Quader als Butter vor. Mit dem Messer schneidest du die Butter in zwei Hälften. Die Schnittfigur, die dabei entsteht ist ein Rechteck. Was passiert jetzt also, wenn du das Messer bei belässt, jetzt aber um AE drehst? Richtig, die Schnittfigur wird kleiner, aber sie bleibt immer noch rechteckig! Merke: Ein Schnitt schneidet parallele Ebenen stets in parallelen Schnittgeraden! Die Ränder der Schnittfigur liegen also immer auf der Oberfläche des Körpers! Alles klar? Dann löse auf Seite 15 die Aufgaben 1b, 2 und 3. Damit du mit Schnitten noch besser umgehen kannst, löse das Arbeitsblatt A5. Beispielaufgabe 5: Gegeben ist wieder ein Quader. Nun soll der Quader auch wieder entzweigeschnitten werden und zwar soll der Schnitt durch die Strecke PQ gehen und auch noch durch einen weiteren Oberflächenpunkt, nämlich durch Y. Der Punkt liegt also auf der Quaderoberfläche, auf der Quaderseite BCGF. Lösung: 1) Verbinde und (Q liegt auf der gleichen Seite wie Y) 2) Schneide die Gerade QY mit der Quaderkante FB und du hast R. 3) Verbinde nun mit (beide liegen auch wieder auf der gleichen Quaderseite, nämlich der Quadervorderseite) Die gesuchte Schnittfigur ist das Dreieck PQR. 1 3 2 Lose im Buch auf Seite 15 die Aufgabe 4 und anschliessend das Arbeitsblatt A6. Für die Aufgabe 5 im Buch (Seite 16) sollst du zuerst nochmals die Theorieseite 51 genau durchlesen und mit dieser Hilfe diese Aufgabe lösen. Lese die folgende Aufgabe gut durch! Versuche mit Hilfe der Lösungen diese Aufgabe zu verstehen: Lösung: Bastelaufgabe: (Buch Seite 16, Aufgabe 7) Arbeite exakt und genau bei dieser Aufgabe! Es lohnt sich, denn die erhaltenen Modelle lassen sich nachher zusammenstellen und zudem kannst du sie dann für spätere Aufgaben benützen. Jetzt geht es wieder ans Rechnen. Lies nochmals die Theorieseiten 52 und 53 durch. Die Formeln hast du ja bereits farbig markiert. Jetzt musst du sie anwenden und zwar in den Aufgaben 8 bis 14 im Buch auf Seite 16 bis 18. Löse das Arbeitsblatt A7 und gib es dem Lehrer zur Korrektur ab. Die gebastelten Modelle der Aufgabe 7 helfen dir jetzt. Verwende sie und löse die Aufgaben 15, 16a und 17 im Buch auf den Seiten 18 und 19. Zusatzaufgaben: 16b und 18. Information: Hast du gewusst, dass es im Feldstecher senkrechte Prismen hat? KAPITEL 3: DER SATZ DES PYTHAGORAS Lies dazu die Theorie auf den Seite 81 konzentriert durch. Beispielaufgabe 6: Gegeben: Das rechtwinklige Dreieck ABC mit den Seiten 5cm und 12cm. Gesucht: Länge der Seite c. Lösung: 1) Den rechten Winkel markieren. 2) Satz des Pythagoras: a2 b2 c2, also c 2 b 2 5 2 12 2 169 13cm Beispielaufgabe 7: Gegeben: Das rechtwinklige Dreieck ABC mit den Seiten 63cm und 65cm. Gesucht: Länge der Seite b. Lösung: 1) Den rechten Winkel markieren. 2) Die Formel richtig nach der gesuchten Grösse auflösen. 2 2 65 2 632 256 16cm Löse im Buch (Seite 23) die Aufgaben 1 bis 4. Wichtige Begriffe: Beim rechtwinkligen Dreieck heisst die längste Seite (die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber ist) HYPOTENUSE (hier die Seite c). Die beiden kürzeren Seiten (das sind die Schenkel des rechten Winkels) nennt man KATHETEN (hier , b). Beim gleichschenkligen Dreieck sind die SCHENKEL, gleich lang (hier die Seiten und b). Die BASIS ist die dritte Seite (c). Die BASISHÖHE ist also die Höhe über der Basis. Die Basishöhe teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Studiere die Theorieseiten 82 und 83 gut durch. Erst wenn du die Theorie verstanden hast, sollst du weitermachen. Löse im Buch (S. 24) die Aufgaben 5, 6 und 7. Beim Lösen der Aufgaben 9 bis 15 und 17 auf den Seiten 25 und 26 sollst du immer zuerst eine Skizze erstellen. Zeichne dann alle gegebenen Grössen ein, markiere mit einer neuen Farbe die gesuchte Grösse. Such beim Lösen immer zuerst die rechtwinkligen Dreiecke, der Tipp bei allen diesen Aufgaben heisst PYTHAGORAS! Seite 27, Aufgabe 18: Es hilft dir sehr, wenn du zuerst das Schrägbild des Quaders zeichnest. Zeichne dann die Diagonalschnittflächen mit Farbe ein. Wie viele verschiedene Diagonalschnittflächen gibt es überhaupt? Zeichne anschliessend auch die Körperdiagonalen ein. Suche jetzt die rechtwinkligen Dreiecke! Und löse die Aufgabe. Löse die Aufgabe 19 auf Seite 27. Beispielaufgabe 8: Gegeben ist ein Quader ABCDEFGH. Gesucht: Die Länge der Strecke M1M2 und die Konstruktion dieser Strecke in wahrer Grösse. Aufgabe: Lösung: 1) Überlege dir zuerst, wie du die Strecke M1M2 in ein möglichst einfach zu bestimmendes rechtwinkliges Dreieck einbetten kannst. sind immer Mittelpunkte, wenn du nun also von den Kanten AB, CD, GH und EF immer die Mitte bestimmst, erhältst du die Mittelebene M2M3M4M5. In dieser Ebene liegt auch die Strecke M1M2 2) Um die Strecke in wahrer Grösse konstruieren zu können, musst du die Mittelebene M2M3M4M5 in wahrer Grösse zeichnen. Diese ist aber genau so gross, wie die Seitenfläche BCGF und diese bildet ein Rechteck. Löse nun im Buch die Aufgaben 20 bis 24 auf den Seiten 27 und 28. Repetiere die Theorieseite 82, bevor du mit den Aufgaben 25 bis 30 weiterfährst. Seite 30, Aufgaben 31 und 32: Zeichne die Figuren in dein Heft und überlege Schritt für Schritt, wie du das erhaltene Gebilde aufteilen kannst. TIPP: 45 Grad Winkel, so sieht doch das Geodreieck aus erinnere dich an die Dreiecksberechnungen. Weiter geht es mit dem Pythagoras Löse die Aufgaben 33 bis 35c auf den Seiten 30 und 31. Bei den Flächenberechnungen denke daran, dass man Flächen in Teilflächen zerlegen kann. So wirds einfacher! Zum Nachdenken: Aufgabe 35d. KAPITEL 4: ZENTRISCHE STRECKUNG Studiere die Theorie auf Seite 111 zur zentrischen Streckung genau durch. Zeichne in dein Heft ein beliebiges Dreieck ABC und bestimme ein Streckungszentrum Z. Erzeuge jetzt das Dreieck ABC mit dem Streckungsfaktor 3. Schreibe die Feststellungen der Theorie passend zu deiner Streckung dazu ins Heft. Bearbeite jetzt die Seite 112 der Theorie. Was passiert, wenn du obiges Dreieck mit -1 streckst? Führe die Konstruktion im Heft aus. Beispielaufgabe 9: Konstruiere das Bild des gegebenen Vierecks aufgrund einer zentrischen Streckung: Gegeben: Lösung: 3 1 1 1 1 1) Verbinde alle Eckpunkte mit 2) Streckfaktor 2 bedeutet, dass jede Länge von aus doppelt so lang wird: ZC 2 · ZC ZB 2 · ZB ZA 2 · ZA ZD 2 · ZD 3) Am einfachsten lässt sich das mit dem Zirkel konstruieren, indem du im Originalpunkt einsteckst und einen Kreisbogen zeichnest wie in der Figur. Löse das Arbeitsblatt A8. Für die folgenden Aufgaben ist es wichtig zu wissen, dass durch zentrische Streckung erzeugte Figuren wieder die gleiche Form haben. Originalfigur und Bild sind ÄHNLICH zueinander! (Theorie Seite 111) Nütze diese Eigenschaft aus beim Lösen der Aufgaben 1 und 2 im Buch Seite 35. HINWEIS: Auch Kreise kann man bequem zentrisch strecken. Dank der Ähnlichkeit bleibt ein Kreis ein Kreis. Deshalb genügt es, wenn wir den Kreismittelpunkt und einen Kreispunkt zentrisch strecken, um das Bild zu erhalten. Löse nun mit Hinblick auf den Hinweis die Aufgaben 3 und 4 (Seite 36) und das Arbeitsblatt A10. Löse die Aufgabe 6 (Seite 36), indem du die Tatsache ausnützt, dass Originalstrecke und Bildstrecke zueinander parallel bleiben. Beispielaufgabe 10: Zeichne ein spitzwinkliges Dreieck ABC und schreibe der Figur ein Rechteck PQRS ein, das doppelt so lang wie breit ist und dessen eine Seite auf AB liegt. 1 5 3 6 4 2 Lösung: 1) Zeichne ein spitzwinkliges Dreieck ABC. 2) Wähle ein Streckungszentrum in einem Eckpunkt (hier bei A). 3) Zeichne eine beliebige Strecke SP ein, die senkrecht auf AB steht und an der Strecke AC endet. 4) Jetzt ergänze das Rechteck mit der Bedingung, dass PQ 2 · SP ist. 5) Verbinde das Streckungszentrum mit R, dort wo der Strahl ZR die Dreieckseite schneidet liegt der gesuchte Eckpunkt R. 6) Durch parallel verschieben erhältst du die restlichen Eckpunkte S, und Q. Löse im Buch (Seite 38) die Aufgabe 8. Löse diese Seite und gib sie dann dem Lehrer ab zur Korrektur: Name: Datum: KAPITEL 5: KREIS Lies die Theorie aus Seite 151 genau durch und hebe die wichtigsten Formeln farbig hervor. Löse im Buch auf den Seiten 43/44 die Aufgaben 1 bis 6. Zusatzaufgaben: Seite 44: Aufgaben 7 und 8. Lies die Theorie auf Seite 152 konzentriert durch, damit du nachher weißt, wie man den Inhalt der Kreisfläche und den Inhalt eines Kreissektors berechnet. Löse für dich die Formeln nach und nach auf und kontrolliere, ob du es richtig gemacht hast. Löse die Aufgaben 10 bis 24 von den Seiten 45 bis 48. Zusatzaufgabe ist das Arbeitsblatt A11. Lies die Theorieseite 153. Merke dir die Fachbegriffe. Löse die Formeln nach G, h, und auf und schreibe sie in dein Heft. Löse die Aufgaben 28 bis 31 (Seite 49).