Arbeitsblatt: Arthimetische/geometrische Folgen und Reihen und Grenzwerte

1. 2. 3.Folgen Allgemeine Definitionen: • Werden die Elemente einer Zahlenmenge in einer ganz bestimmten Reihenfolge angeordnet, dann spricht man von einer Zahlenfolge. • Eine Zahlenfolge heisst endlich, falls sie eine endliche Anzahl Elemente hat. • Eine Zahlenfolge heisst unendlich, falls sie eine unendliche Anzahl Elemente hat. • Eine Zahlenfolge heisst monoton wachsend, falls für alle ak gilt: anan1 • Eine Zahlenfolge heisst monoton fallend, falls für alle ak gilt: 1. 2.1. anan1 Arithmetische Folgen Definition: Eine Zahlenfolge nennt man eine arithmetische Folge, wenn die Differenz zweier aufeinander folgenden Glieder konstant ist. an1-andkonstant. 2.2. Formeln: 1. 2. 3. ana1n-1d i. Das ist die sogenannte Explizite-Form, wo die Folge als eine Funktion von dargestellt wird. Die ExpliziteDarstellung der arithmetischen Folge ist vergleichbar mit einer Linearen Funktion, wobei die Steigung darstellt. i. Diese Form wird Rekursiv genannt. an1and snna1an2a1nn(n-1)2d i. Mit dieser Formel kann man die Summe aller Glieder vom ersten bis zum nten Glied einer arithmetischen Folge berechnen. 4. dDifferenz 5. nGliedzahl 6. a1Anfangsglied 7. anNtes Glied 8. 9. 2.3. 2.4. Beispiel zur arithmetischen Folge 10. 11. Eine endliche arithmetische Folge hat insgesamt 486 Glieder. Die Summe der 1. Hälfte der Glieder beträgt 92340, die Summe der 2. Hälfte beträgt 269487. Berechnen Sie das Anfangsglied, die Differenz und das letzte Glied dieser Folge. 12. ntotal486 13. s24392340 14. s486-s243269487 15. s486-92340269487 s48626948792340361827 1. s243243a1a1242d292340 2. s486486a1a1485d2361827 (1) 2432a1242d292340 (2) 4862a1485d2361827 I. 486a158806d184680 II. 972a1235710d723654 (-2) III. 0 d3 (1) 11898d354294 2432a1242d292340 (2) 486a158806d184680 486a1588063184680 486a18262 a117 (3) a486 a1 n- 1d 17 486- 13 1472 (4) a1 17 d 3 a486 1472 (5) (6) 2. 3. 2.5. Geometrische Folgen Definition: (7) (8) Eine Zahlenfolge ist nur dann eine geometrische wen der Quotient zweier aufeinander folgenden Glieder konstant ist. (9) 2.6. an1anqkonstant Formeln (10) 1. ana1qn-1q0q1 i. Das ist die Explizite-Form der geometrischen Folge, sie ist vergleichbar mit der Exponentialfunktion. ii.Ist grösser als 1 so ist die Folge monoton wachsend. iii.Ist kleiner als 1 so ist die Folge monoton fallend. 2. an1anq i. Diese Form wird Rekursiv genannt. 3. sna1qn-1q-1a11-qn1-q i. Mit dieser Formel kann man die Summe aller Glieder vom ersten bis zum nten einer geometrischen Folge berechnen. 2.7. Anwendung in der Finanzmathematik 4. 1. Zinseszins: KnK0rn 5. r1p100 2. Regelmässige Zahlungen: KnK0rnbrn-1r-1nachschüssig KnK0rnbrrn-1r-1vorsc 6. hüssig 7. 8. 9. 10. 11. 2.8. 2.9. Beispiel zur geometrischen Folge 12. 13.Wie viele Glieder der geometrischen Folge ihre Summe grösser als 10100 ist? 14.sn10100 15.q3 2, 6, 18, muss man mindestens nehmen, damit 16.a12 17.1010023n-13-123n-123n-1 18.101003n-1 €1 19.1010013n logrithmieren 20.ln101001ln 3n 21.ln101001nln3 22.n ln10100 1ln3 209. 6 23.A: ab dem 210ten Glied ist die Summe grösser als 10100. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 4. 5.Grenzwerte 35. 36.Bei Grenzwertberechnungen wo man den Allgemeinen Grenzwert einer Folge bestimmen muss, ist folgendermassen vorzugehen: • Man setzt den Limes gegen unendlich, dabei darf nicht ein mathematisch undefinierter Ausdruck, wie z.B. oder 00 rauskommen. • Ergibt sich aus dieser Rechnung eine reelle Zahl, so ist die Folge konvergent. Das heisst es existiert ein „eigentlicher Grenzwert. • Ergibt sich aus dieser Rechnung keine reelle Zahl, so ist die Folge divergent. Das heisst es existiert ein „uneigentlicher Grenzwert. • Mit „uneigentlichem Grenzwert ist ein unendlicher Grenzwert gemeint. 37.Beispiel konvergent: 38.limn3n12nundefinierter Ausdruck 39.Weiter gibt es zwei Methoden um an die Lösung zu kommen: 1. Methode 1: Bruch mit 1n erweitern 40.limn3nn1n2nn30232 d.h. die Folge konvergiert gegen 1,5. Dies bedeutet dass sich auch im kleinsten Bereich nahe diesem Punkt sich die meisten Glieder dieser Folge befinden. 2. Methode 2: lHospitalsche Regel 41. 42.Da Zahlenfolgen auch als Funktionen betrachtet werden können ist diese Regel auch für Folgen gültig. 43.Vorgehen: 1. Zähler und Nenner separat Ableiten. 2. Die Ableitungen wieder in einem Bruch zusammen führen. 3. Den Grenzwert der Ableitungen bestimmen. 44.limn3n12nfngn fn3 gn232 45.Beispiel für divergent: 46.limn3n2n2n3n2nnn2nnlimn3n12122 47.Oder limn3n2n2nf(n)g(n)fn6n1 ;gn2 limn6n12122 3 3. Regeln für Unendlichkeit1 4. 48.Dass sie mit einem Gleichheitszeichen geschrieben werden, erlaubt nicht, sie wie Gleichungen zu behandeln. steht für eine beliebige reelle Zahl. • liegt „jenseits der Zahlengeraden: 49. • ändert sich nicht, wenn man eine endliche Zahl addiert oder subtrahiert: 50. • Auch wenn hinzugefügt wird, ändert sich nichts: 51.und • Falls zwei Unendlichkeiten voneinander subtrahiert werden so ist das Ergebnis nicht definiert: 52.undefiniert • Bei der Multiplikation und der Division sind die Vorzeichenregeln zu beachten: 53. 54. 55. 56. 57.„a steht hier für eine beliebige positive reelle Zahl. 58.Bei der Multiplikation dürfen wie üblich die Faktoren vertauscht werden, also usw. 59.Bei der Division gilt usw., aber: • Eine Zahl geteilt durch Unendlich ergibt null: 60.und 61.Es sei darauf hingewiesen, dass dies nicht in die Gleichung umgewandelt werden kann! 62. 1 Wikipedia 63. 64. 65. 66. 67. 5. 6. Rechenregeln für Grenzwerte 1. limxx0[Cfx]C(limxx0f(x)) Konstante ist eine 2. limxx0fxgxlimxx0fxlimxx0gx 3. limxx0[fxgx]limxx0fxlimxx0g(x) 4. limxx0fxgxlimxx0fxlimxx0gx 5. limxx0nfxnlimxx0fx 6. limxx0fxnlimxx0fxn 7. limxx0(afx)alimxx0fx 8. limxx0[logaf(x)]loga(limxx0f(x)) 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.