Arbeitsblatt: Exponentielles Wachstum (LU 17)

Lineares und exponentielles Wachstum exponentieller Zerfall Lineares Wachstum Distanz [km] Beim «linearen Wachstum» wächst eine Grösse pro Zeiteinheit absolut immer um gleich viel. Als Graph ergibt sich eine Gerade. Die Funktion ist proportional. Funktionsgleichung (z.B.): 0.5x Beispiele: Preis Menge Zeit Distanz usw. Zeit [min] In der Natur ist aber «lineares Wachstum» oder «linearer Zerfall» eher selten. Exponentielles Wachstum Bakterien [Anzahl] Entwicklungen wie Bakterienwachstum verlaufen nicht «linear», sondern «exponentiell». Vorstellungen für «exponentielles Wachstum» sind beim Menschen relativ wenig ausgeprägt. «Exponentielles Wachstum» wird oft erst unmittelbar vor einer Katastrophe realisiert. Beispiel: Eine Bakterienkultur in einer Nährlösung besteht anfangs aus 100 Bakterien. Jedes Bakterium teilt sich stündlich. a) Erstelle eine Wertetabelle! b) Wie lautet die Funktionsgleichung? c) Erstelle ein Diagramm! Zeit [h] Zeit (h) 0 1 2 3 4 Anzahl Bakterien Funktionsgleichung: . 5 6 7 Lineares und exponentielles Wachstum exponentieller Zerfall Exponentieller Zerfall Wert [Fr.] Ein Auto verliert jährlich an Wert. Im Autohandel rechnet man nicht mit einem konstanten Wertverlust (z.B. immer Fr. 3500.-), sondern man rechnet mit einem prozentualen Verlust. Ein Auto ist nach jedem Jahr z.B. 20% weniger wert als im Vorjahr (der Prozentsatz ist je nach Typ, Marke und gefahrener Kilometer unterschiedlich). Beispiel: Der Neuwert des Wagens beträgt Fr. 2800.Welchen Wert hat das Auto nach 1, 2, 4, 6, 8, 10, 14 Jahren? a) Erstelle eine Wertetabelle! b) Wie lautet die Funktionsgleichung? c) Erstelle ein Diagramm! Zeit [Jahre] Zeit (Jahre) 0 1 2 4 6 8 10 14 Wert des Autos gerundet Funktionsgleichung: . Wenn wir die Funktionsgleichungen der letzten beiden Beispiele betrachten, erkennen wir, dass sich die Variable jeweils im Exponenten befindet. Deshalb sprechen wir von exponentiellem Wachstum oder exponentiellem Zerfall. Merke: Wenn die Basis der Potenz grösser als 1 ist, bedeutet dies exponentielles Wachstum. Beispiel: 100 · 2x Wenn die Basis der Potenz zwischen 0 und 1 liegt, bedeutet dies exponentieller Zerfall. Beispiel: 2800 · 0.8x