Arbeitsblatt: Bruchteil

Material-Details

Bruch
Mathematik
Brüche / Dezimalzahlen
5. Schuljahr
1 Seiten

Statistik

90580
1035
2
02.12.2011

Autor/in

Gunaseeli Kandiah
Land: Schweiz
Registriert vor 2006

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Textauszüge aus dem Inhalt:

Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Einfache Bruchteile Einführung in die Bruchrechnung 4 25 16 Meine Mathe-Seite im Internet kostenlose Matheaufgaben, Skripte, Mathebücher Lernspiele, Lerntipps, Quiz und noch viel mehr http:// www.mathefritz.de Seite 1 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Copyright 2008 Mathefritz.de Alle Rechte vorbehalten. Vervielfältigung nur zu eigenen Zwecken sowie zum Einsatz im Unterricht erlaubt. Eine Bitte Sollten Sie in diesem Skript Fehler finden, so senden Sie bitte eine e-Mail an Wir sind bemüht, diese so schnell wie möglich zu korrigieren. Im Internet finden Sie immer die aktuellste Version. Noch geplant: Lösungen zu allen Aufgaben Fortsetzung: allgemeines Bruchrechnen, Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Brüchen Diese Version Versionsnummer: 1.01.05 Versionsdatum: 18.05.2008 Seite 2 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Inhaltsverzeichnis 1. Einführung Was ist ein Bruchteil . 4 1.1 Wie schreibt man einen Bruchteil? 4 1.2 Wie berechnet man einen Bruchteil? . 5 2. Übungen zum Einstieg 6 3. Bruchteile von Größen 12 4. Kürzen und Erweitern . 15 4.1 Erklärung und Beispiele Einstiegsaufgabe 15 4.2 Erweitern 16 4.3 Kürzen 16 4.4 Übungen zu Kürzen und Erweitern 17 5. Dezimalbrüche 20 5.1 Wiederholung und Einstieg 20 5.2 Umwandlung von Brüchen in Dezimalbrüche . 21 5.3 Rückumwandlung: Dezimalbruch in einen Bruch umwandeln . 22 5.4 Übungen Dezimalbrüche und Brüche umwandlen 23 6. Der Prozentbegriff 25 6.1 Prozent, PRO ZENT von Hundert . 25 6.2 Übungen . 25 7. Anordnen von Bruchteilen 29 7.1 Einstiegsaufgabe und Erläuterungen 29 7.2 Übungen . 30 8. Teilbarkeitsregeln und Primfaktorzerlegung 33 8.1 Teilbarkeitsregeln 33 8.2 Teilbarkeit von Summen und Differenzen . 33 8.3 Primfaktorzerlegung 34 8.4 kgV und ggT – kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler . 34 9. Übungen und Tests . 36 9.1 Test 1 – Klassenarbeit (45 Min.) 36 9.2 Test 2 – Klassenarbeit (45 Min.) 37 Seite 3 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 1. Einführung Was ist ein Bruchteil Du hast sicher schon einmal eine halbe Pizza gegessen, oder ein Stück Kuchen. Das Stück Kuchen war dann wohl eines von insgesamt 12 oder 16 Stücken. Du hast so schon Bruchteile eines Ganzen kennen gelernt. Ein Bruchteil ist immer ein Teil eines Ganzen. Z.B. eine Hälfte 1 Stück von insgesamt 2. Ein Drittel 1 Stück von Dreien. Drei Viertel sind drei Stücke von insgesamt 4 usw. 1.1 Wie schreibt man einen Bruchteil? 3 4. Drei Viertel sind 3 von 4. Man schreibt das so: Merke: Auf dem Bruchstrich steht die Anzahl der Teile, die gezählt werden. Daher nennt man den Ausdruck auf dem Bruchstrich Zähler! Unter dem Bruchstrich stehen die gesamten Anteile, die es gibt. Daher nennt man den Ausdruck unter dem Bruchstrich Nenner. 4 5 Zähler Nenner Beispiele: Ein Drittel Ein Stück von insgesamt Drei Vier Fünftel Vier von Fünf Teilen Ein Zwölftel Ein Teil von Zwölf Ein Achtel Ein Teil von Acht Seite 4 1 3 4 5 1 12 1 8 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 1.2 Wie berechnet man einen Bruchteil? Man dividiert das Gesamte durch die Anzahl der Teile, in die man einteilt – durch den Nenner. Danach multipliziert man das Ergebnis mit der Anzahl der Teile, die man betrachtet – also dem Zähler. Beispiele 3 12 von 24 Dividiere 24 durch 12, das ist 2. Multipliziere nun das Ergebnis mit dem Zähler. 2 mal 3 ist gleich 6! Drei Zwölftel von 24 sind also 6! 5 von 7 21 21 7 5 3 5 15 Anschaulich: 5 von 7 Ein Beispiel mit Größen: 21 7 5 3 5 15 21 3 von 5 15 kg (15 kg 5 3 3 kg 3 9 kg Merke: Bei der Bestimmung eines Bruchteils muss man nicht nur wissen, wie viele Teile man hat – das ist der Zähler des Bruchs- sondern auch, wie viele Teile es insgesamt sind – das ist der Nenner eines Bruchs. Beispiel: Du isst ein Stück Kuchen. Das kann 1 sein, wenn der Kuchen in 4 Stücke geschnitten wurde. 4 1 sein, wenn der Kuchen in 8 Stücke geschnitten wurde. 8 1 sein, wenn der Kuchen in 12 Stücke geschnitten wurde. 12 Seite 5 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 2. Übungen zum Einstieg Übung 1: Bestimme jeweils den Bruchteil, der schwarz gekennzeichnet ist! Bruchteil Seite 6 Bruchteil Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Übung 2: Bestimme jeweils den Bruchteil, der farbig bzw. grau gekennzeichnet ist! Bruchteil Seite 7 Bruchteil Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Übung 3: Zeichne den angegebenen Bruchteil farbig! Bruchteil Bruchteil 3 20 4 10 1 5 1 2 1 4 1 4 2 9 1 3 3 8 1 4 Seite 8 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Übung 4: Zeichne den angegebenen Bruchteil farbig, verschiedene Lösungen sind möglich! Bruchteil Bruchteil 6 20 5 10 2 5 6 10 3 4 1 2 3 9 2 3 1 2 5 8 Seite 9 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Übung 5: Mosaik – Bestimme die grauen bzw. farbigen Anteile! b) a) Welcher Anteil ist eingefärbt? Welcher Anteil ist eingefärbt? Welchen Anteil nehmen Mast Rumpf Segel des Schiffs ein? Welchen Anteil nimmt das Schiff insgesamt ein? c) e) d) Welcher Anteil ist eingefärbt? f) Welcher Anteil ist eingefärbt? g) Welcher Anteil ist eingefärbt? Welcher Anteil ist eingefärbt? Seite 10 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Übung 6: Mosaik welcher Anteil ist eingefärbt? a) b) c) d) e) f) Profi-Aufgabe g) Profi-Aufgabe h) Seite 11 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 3. Bruchteile von Größen Übung 7: Umrechnen in ganzzahlige Untereinheiten – Zeiten Berechne jeweils in der nächstmöglichen Unter- oder Obereinheit! 1 2 1 b) min 3 1 c) 4 1 d) 12 1 e) 6 3 f) 5 a) 2 3 3 h) 4 4 i) 15 5 j) 12 12 k) min 15 5 l) 12 g) 3 10 1 n) 10 9 o) min 4 7 p) min 6 7 q) min 12 1 r) min 6 m) 4 5 3 t) 4 2 u) min 3 2 v) 3 5 w) 8 7 x) 12 s) Übung 8: Umrechnen in ganzzahlige Untereinheiten – Währungen Berechne jeweils in der nächstmöglichen Untereinheit oder in ganzen Euro und restlichen Cent! 1 € 2 1 b) € 4 1 c) € 5 7 d) € 10 3 e) € 20 3 f) € 5 a) 17 € 20 19 h) € 25 9 i) € 10 120 j) € 10 12 k) € 4 5 l) € 5 g) m) n) o) p) q) r) 3 € 10 1 € 10 9 € 4 7 € 2 3 € 20 1 € 25 9 € 5 35 t) € 4 75 u) € 25 82 v) € 2 13 w) € 20 6 x) € 10 s) Übung 9: Berechne die angegebenen Anteile der Längen 1 von 100 2 1 b) von 90 cm 3 1 c) von 24km 4 1 von 60 cm d) 12 5 e) von 32 cm 8 7 f) von 27 cm 9 a) 4 von 28km 7 3 h) von 100 5 4 i) von 42 mm 7 3 j) von 121m 11 12 k) von 225 mm 15 6 l) von 49 km 7 g) 3 von 55 cm 11 5 n) von 39 13 9 o) von 4m 4 2 p) von 210m 7 6 q) von 16 0km 8 3 r) von 1,8m 9 m) Seite 12 4 von 120 5 3 t) von 500 mm 4 1 u) von 50 cm 4 2 v) von 150 cm 3 3 w) von 140 7 7 x) von 1000 mm 8 s) Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Übung 10: Berechne die angegebenen Anteile der Massen 1 von 15 kg 2 1 b) von 66 3 1 c) von 2,4kg 4 1 d) von 60 5 3 e) von 3,2 kg 8 5 f) von 270 9 a) 3 von 3,5kg 7 3 h) von 125 5 4 i) von 420 7 3 j) von 8,8kg 11 11 k) von 22,5 kg 15 6 l) von 490 7 g) 4 von 0,99kg 11 6 n) von 520 13 7 o) von 4,8kg 4 2 p) von 2,8 7 5 q) von 1,6 8 3 r) von 810kg 9 m) 2 von 1,8 5 3 t) von 600 4 1 u) von 50 4 2 v) von 0,21kg 3 4 w) von 1,4 7 3 x) von 1t 8 s) Übung 11: Berechne die angegebenen Bruchteile der Größen 1 von 24 kg 2 1 b) von 33 € 3 1 c) von 48 4 1 d) von 60 cm 5 3 e) von 32 kg 8 5 f) von 27 cm 9 a) 3 von 28kg 7 3 h) von 125 5 4 i) von 21 kg 7 2 j) von 121 11 13 k) von 225 mm 15 6 l) von 42 € 7 g) 3 von 55 ct 11 6 n) von 39 min 13 7 o) von 40 € 4 2 p) von 14 kg 7 6 q) von 16 8 3 r) von 18 € 9 m) 4 von1,2 kg 5 3 t) von 500 4 3 u) von 5 € 4 2 v) von 1 € 50ct 3 3 w) von 1,40 € 7 7 x) von 1 kg 8 s) Übung 12: Löse die folgenden Aufgaben! a) Du isst 2 Stück Kuchen. Der Kuchen wurde insgesamt in 12 Stücke geteilt. Welchen Bruchteil hast du gegessen? b) Eine Pizza wird in 10 gleich große Stücke geschnitten. Du isst davon die Hälfte. Wie viele Stücke hast du gegessen? c) Eine Tüte Bonbons enthält 21 Bonbons. Du teilst unter dir und 2 weiteren Freunden auf. 1. Wie viele Bonbons bekommt jeder? 2. Welchen Bruchteil hat jeder bekommen? d) Du sollst Kilogramm Wurst kaufen. Diese 250 Gramm kosten 2 Euro. Was kostet dann 1 Kilogramm? e) 5 Freunde teilen unter sich gleichmäßig 250 Gramm Gummibärchen. 1) Wie viel Gramm bekommt jeder? 2) Welcher Bruchteil sind 25 Gramm? 3) Welcher Bruchteil sind 100 Gramm? Seite 13 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile f) Ein Puzzle besteht aus 48 Teilen. Du hast schon 24 Teile zusammengelegt. Welchen Bruchteil des Puzzles hast du schon gelöst? g) Du kaufst auf dem Wochenmarkt 21 Pfirsiche. Zu Hause stellst du fest, dass ein Drittel davon faul ist. Wie viele Pfirsiche sind das? h) Für die Hausaufgaben benötigst du heute 50 Minuten. Davon brauchst du die Hälfte für Mathematik. Wie viele Minuten sind das? i) Du hast 15 Euro gespart. 1 Drittel dafür ist für einen Kinobesuch geplant. 2 Drittel (oder auch der Rest) soll in die Sparbüchse. 1) Wie viel kostet ein Kinobesuch? 2)Wie viel geht in die Spardose? j) Der Pizzaservice bekommt 20 Euro. Du gibst noch zusätzlich 1 Zehntel Trinkgeld. Wie viel Euro bekommt der Pizzabote als Trinkgeld? Übung 13: Ein Blatt Papier falten – und wir erhalten Bruchteile Nimm ein Blatt Papier, am besten DIN A4. Falte das Blatt so, dass jeweils folgende gleiche Teilflächen entstehen: 3 Teile 4 Teile 8 Teile 16 Teile Gibt es weitere Möglichkeiten, das Blatt sauber in andere Bruchteile einzuteilen? Übung 14: Rechnen mit Bruchteilen 1 3 von 14 kg von 21kg 7 2 1 3 b) von 51 von 100 3 5 1 4 c) von 2,8kg von 4,9kg 4 7 1 3 von 990 d) von 600 5 11 11 3 e) von 30 kg von 32 kg 8 15 6 5 f) von 420 - von 270 7 9 a) 5 2 von 1,2kg von 1,5kg 12 5 7 3 h) von 520 von 500 4 13 5 1 i) von 4,8kg von 6kg 4 4 2 2 j) von 2,8 - von 1,4 7 7 5 3 k) von 1,6 - von 810kg 8 9 2 3 l) von 2,1kg von 2,4kg 3 8 g) Seite 14 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 4. 4.1 Kürzen und Erweitern Erklärung und Beispiele Einstiegsaufgabe Fülle zwei Achtel aus! Fülle ein Viertel aus! Fülle zwei Zwölftel aus! Fülle ein Sechstel aus! Fülle 4 Sechzehntel aus! Fülle ein Viertel aus! Fülle 8 Achtundzwanzigstel aus! Fülle zwei Siebtel aus! Was fällt dir jeweils auf? Seite 15 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 4.2 Erweitern Erweitern eines Bruches heißt, dass wir Zähler und Nenner des Bruchs mit der gleichen Zahl multiplizieren. 3 3 2 6 6 3 18 8 8 2 16 16 3 48 1 1 2 2 2 3 6 3 3 2 6 6 3 18 2 22 4 4 3 12 5 5 2 10 10 3 30 Anschaulich bedeutet Erweitern, dass wir die Bruchteile jeweils alle weiter in gleicher Weise teilen. Siehe hierzu die ersten Beispielaufgaben. 1 4 2 8 ist das gleiche wie Hier wird jedes Teilstück nochmals in 2 Teile zerlegt. Dies bedeutet Erweitern mit 2! 1 3 ist das gleiche wie 6 18 Hier wird jedes Teilstück nochmals in 6 Teile zerlegt. Dies bedeutet Erweitern mit 6! 4.3 Kürzen Kürzen eines Bruches heißt, dass wir Zähler und Nenner des Bruchs durch die gleiche Zahl dividieren. 6 6:3 2 2:2 1 18 18 3 6 6 2 3 18 18 2 9 9:3 3 48 48 2 24 24 3 8 12 12 2 6 6:3 2 30 30 2 15 15 3 5 Merke: Können wir Zähler und Nenner eines Bruches nicht mehr durch eine gleiche Zahl dividieren, sprechen wir davon, dass der Bruch vollständig gekürzt ist. Anschaulich bedeutet Kürzen, dass wir mehrere Bruchteile zu einem neuen Bruchteil zusammenfassen: 6 18 ist das gleiche wie 1 3 Hier werden jeweils 6 Teile zu einem neuen Teil zusammengefasst. Dies bedeutet mit 6 Kürzen! Seite 16 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 4.4 Übungen zu Kürzen und Erweitern Übung 15: Erweitern Erweitere alle Brüche mit 3 a) b) c) d) e) 2 5 1 8 4 7 3 4 1 3 Erweitere alle Brüche mit 5 Erweitere alle Brüche mit 8 5 9 2 g) 3 1 h) 4 3 i) 10 2 j) 7 1 2 1 l) 5 1 m) 7 2 n) 9 3 o) 4 f) k) Übung 16: einfaches Kürzen Kürze mit einer Zahl, durch die man Zähler und Nenner teilen darf! a) 2 4 f) 25 45 k) 10 25 b) 3 9 g) 16 24 l) 10 55 c) 4 12 h) 9 36 m) d) 30 40 i) 15 50 n) 12 16 e) 100 300 j) 8 28 o) 35 49 Übung 17: 3 21 Textaufgaben zu Erweitern und Kürzen Klaus stellt folgende Behauptungen auf. Finde heraus, ob er Recht hat. Begründe mit Hilfe der Regeln für Erweitern und Kürzen. a) b) c) d) 1 5 ist das Gleiche wie 3 9 3 15 ist das Gleiche wie 5 25 27 3 ist das Gleiche wie 36 4 2 41 ist das Gleiche wie 3 60 e) f) g) h) 33 kann man nicht kürzen. 55 27 kann man nicht kürzen. 9 225 kann man durch 20 kürzen. 250 2 20 kann man so erweitern, dass es ergibt. 9 81 Seite 17 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Übung 18: Anschauliches Erweitern und Kürzen a) Welcher Bruchteil ist grau unterlegt? Welcher Bruchteil ist das durch Kürzen? Kennzeichne hier anschaulich den gekürzten Bruch! Umrahme den Teil mit einem Lineal! b) Welcher Bruchteil ist grau unterlegt? Welcher Bruchteil ist das durch Kürzen? c) Welcher Bruchteil ist grau unterlegt? Welcher Bruchteil ist das durch Kürzen? d) Welcher Bruchteil ist grau unterlegt? Welcher Bruchteil ist das durch Kürzen? e) Welcher Bruchteil ist grau unterlegt? Welcher Bruchteil ist das durch Kürzen? f) Welcher Bruchteil ist grau unterlegt? Welcher Bruchteil ist das durch Kürzen? Seite 18 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Übung 19: Kürzen so weit wie möglich Kürze so lange, bis es nicht mehr weiter geht! a) 21 84 i) 63 77 q) 12 60 b) 75 225 j) 18 36 r) 30 36 c) 48 64 k) 245 490 s) 225 250 d) 300 400 l) 504 720 t) 81 99 e) 121 154 m) 30 210 u) 21 49 f) 120 150 n) 51 68 v) 50 65 g) 80 240 o) 42 70 w) 15 75 h) 56 72 p) 35 63 x) 16 64 Übung 20: Bestimme den Bruchteil und kürze das Ergebnis, sofern möglich. a) b) Seite 19 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 5. Dezimalbrüche 5.1 Wiederholung und Einstieg Bei Größen haben wir schon einige Untereinheiten kennen gelernt und diese bezeichnet und als Bruchteil beschrieben. Dezi als Bruch geschrieben: Zenti als Bruch geschrieben: Milli als Bruch geschrieben: Welcher Bruchteil ist 1 cm von 1 m? 1 cm Welcher Bruchteil ist 1 dm von 1 m? 1 dm Welcher Bruchteil ist 1 mm von 1 m? 1 mm In diesem Zusammenhang haben wir bereits die Darstellung mit Komma kennen gelernt. Schreibe die Dezimeter/Zentimeter/Millimeter als Meter in Kommaschreibweise a) 25 dm b) 59 dm c) 125 dm d) 3 cm e) 88 cm f) 25 cm g) 128 cm 10 10 10 100 100 100 100 h) 33 cm i) 7 cm j) 1245 mm k) 350 mm l) 29 mm m) 8 mm n) 17 mm Seite 20 100 100 100 0 100 0 100 0 100 0 100 0 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 5.2 Umwandlung von Brüchen in Dezimalbrüche Alle Brüche mit einer Zehnerpotenz im Nenner (10, 100, 1000 usw.) können als Dezimalbruch geschrieben werden! Beispiel: 43 0,43 43 Hundertstel sind 0,43 100 124 0,124 124 Tausendstel sind 0,124 1000 2507 2,507 2507 Tausendstel sind 2,507 1000 Regel und TIPP Teile bei einem Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner (z.B. 43 den Zähler durch den 100 Nenner. Das ganzzahlige Ergebnis steht vor dem Komma, der Rest hinter dem Komma. Achtung, zusätzliche Nullen vor dem Rest dürfen hier nicht weggelassen werden, siehe folgende Beispiele 43 43 100 0 Rest 43, als Dezimalbruch 100 650 650 100 6 Rest 50, als Dezimalbruch 100 0,43 6,50 Achtung, hier wird es kompliziert: 2055 2055 1000 2 Rest 055, als Dezimalbruch 1000 301 301 100 3 Rest 01, als Dezimalbruch 100 2,055 3,01 Verstanden? Erfinde 6 Beispiele, von denen mindestens 3 den Sonderfall enthalten! 1. 2. 3. 4. 5. 6. Seite 21 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 5.3 Rückumwandlung: Dezimalbruch in einen Bruch umwandeln Die erste Stelle hinter dem Komma sind Zehntel, die zweite Hundertstel, usw. 0,5 5 Zehntel 0,03 3 Hundertstel 0,45 4 Zehntel und 5 Hundertstel 45 Hundertstel Regel: Stelle fest, wie viele Stellen hinter dem Komma sind. Diese Stellen geben dir an, welche Zahl in den Nenner gehört. Die Zahlen vor und hinter dem Komma kommen auf den Bruchstrich in den Zähler. Beispiele: 2,705 3 Stellen hinter dem Komma Tausendstel alle Ziffern in den Zähler 2705 1000 0,0074 4 Stellen hinter dem Komma Zehntausendstel alle Ziffern in den Zähler 74 10000 Achtung!!!!! Nur Brüche mit Zehnerpotenzen im Nenner können als Dezimalbruch geschrieben werden! Für Clevere: Steht im Nenner keine Zehnerpotenz, können wir natürlich versuchen, den Nenner zu erweitern, um eine Zehnerpotenz zu erhalten. Beispiele: 1 2 können wir so erweitern, dass 10 im Nenner steht. 3 4 7 20 3 25 3 8 9 40 11 250 können wir so erweitern, dass 100 im Nenner steht. können wir so erweitern, dass 1000 im Nenner steht. Verstanden? Erfinde 4 Beispiele, wie man auf eine Zehnerpotenz erweitern kann. 1. 2. 3. 4. Seite 22 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 5.4 Übungen Dezimalbrüche und Brüche umwandlen Übung 21: Schreibe als Dezimalbruch a) 7 10 h) 715 10 0 b) 23 10 i) 325 10 00 c) 53 100 j) 999 10 00 d) 607 100 0 k) 6200 10 0 cm e) 6 10 cm cm l) 2580 10 0 f) 29 10 cm cm m) 670 10 g) 606 10 cm cm n) Übung 22: cm cm cm 575 cm 10 cm Schreibe als Dezimalbruch a) 33 10 g) 25 100 m) 76 10 b) 115 100 h) 15 100 n) 73 100 c) 625 10 00 i) 3205 100 0 o) 256 1000 d) 120 100 j) 280 1000 p) 26 100 e) 275 100 k) 11 10 q) 3758 10000 f) 7 100 l) 99 100 r) 267 10000 Seite 23 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Übung 23: Wandle die Dezimalbrüche in Brüche um und kürze wenn möglich. a) 0,02 g) 1,2 m) 0,025 s) 0,32 b) 0,15 h) 1,8 n) 0,18 t) 0,001 c) 0,3 i) 1,4 o) 0,33 u) 0,45 d) 0,125 j) 2,5 p) 0,625 v) 0,4 e) 0,25 k) 0,12 q) 0,128 w) 0,08 f) 1,5 l) 0,250 r) 0,55 x) 1,25 Übung 24: Schreibe Dezimal. Suche hierzu eine Zehnerpotenz als Nenner! (Erweitern oder Kürzen!) a) 6 20 f) 12 25 k) 3 30 p) 21 70 b) 3 4 g) 9 10 l) 5 25 q) 250 500 c) 2 25 h) 120 250 m) 7 35 r) 32 160 d) 3 5 i) 4 20 n) 12 24 s) 33 44 e) 7 40 j) 18 125 o) 8 40 t) 25 80 Seite 24 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 6. Der Prozentbegriff 6.1 Prozent, PRO ZENT von Hundert Übung 25: Einstieg, von Hundert, schreibe als Bruch a) 4 Stück von 100 Prozent b) 23 Stück von 100 Prozent c) 20 Stück von 100 Prozent d) 25 Stück von 100 Prozent e) 50 Stück von 100 Prozent f) 75 Stück von 100 Prozent g) 60 Stück von 100 Prozent h) 40 Stück von 100 Prozent Merke: Um einen Bruchteil in Prozent um zu wandeln, müssen wir den Bruch derart erweitern oder kürzen, dass im Nenner 100 steht. Der Zähler ist dann der Prozentwert: 2 4 50 50% 100 3 10 30 30% 100 Hinweis: „von Tausend nennt man Promille 3 Tausendstel sind somit 3 Promille! 6.2 Übungen Übung 26: Wandle folgende Brüche und Dezimalbrüche um, so dass im Nenner 100 steht. a) 2 5 b) 3 20 c) 12 25 d) 3 4 e) 10 40 f) 1 25 g) 9 10 h) 25 250 i) 0,25 j) 0,05 k) 0,45 l) 0,7 m) 0,12 n) 0,07 o) 0,35 p) 0,3 q) 32 40 r) 16 20 s) Seite 25 24 32 t) 12 48 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Übung 27: Wandle in die fehlenden Brüche (gekürzt!) Dezimalbrüche Prozent um. Bruch Dezimalbruch Prozent 17 25 0,27 0,15 17 13 20 0,95 36 48 75 5 125 0,11 3% 42 70 0,35 22 23 25 80 0,84 65% Seite 26 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Übung 28: Berechne die folgenden Bruchteile der Größen a) 45 von 200 i) 0,5 von 2500 b) 15% von 1,5 kg j) 0,17 von 100 c) 8 von 3,4 k) 0,3 von 1 d) 5 von 60 Minuten l) 0,28 von 500 e) 25 von einem Tag m) 0,03 von 1500 f) 35% von 3500 Personen n) 0,05 von 60 Minuten g) 18 von 800 Schülern einer Schule o) 0,15 von 120 Gummibärchen h) 30 von 30 Schülern p) 0,25 von 28 Personen Übung 29: Textaufgabe Von 900 Schülern gehen 15% in die fünfte Klasse. Es gibt 5 Klassen in der Klassenstufe 5. In jeder Klasse sind a) b) c) d) 4 9 Mädchen und 5 9 Jungen. Wie viele Kinder gehen in eine 5er Klasse? Wie viele Mädchen, wie viele Jungen gehen in eine 5er Klasse? In der Oberstufe befinden sich 20 der Schüler der Schule. Wie viele sind dies? Bis zum Abitur schaffen es nur 90% von diesen. Wie viele Schüler verlassen die Schule in der Oberstufe ohne Abitur? Übung 30: Kreuzworträtsel Bruchrechnung Das Rätsel findest du auf der nächsten Seite. / ist der Bruchstrich, ÄAE, ÖOE, ÜUE, ß SS) Waagrecht 4. 8/10 in 6. 50% 7. DEZI 8. 1000/125 10. Hundertstel 13. Nur durch 1 und sich selbst teilbar 14. 1/60 Min 15. Bruch mit 100 im Nenner 16. 75% 20. Hundert von Hundert 21. 5% von 60 23. Teiler von 49 25. 10 von 1000 ? 26. 2 hoch 4 geteilt durch 2 hoch 8 27. drei Fünftel von 125 geteilt durch 3 29. auf dem Bruchstrich 34. Drei Neuntel 35. 18 von 200 36. Teiler von 125 Senkrecht 1. 1/24 Tag 2. 12,5 3. Vier Halbe 5. 75% drei Fünftel 9. Zehntel 11. Milli 12. von Tausend 17. Neutrales Element der Multiplikation 18. 1/20 in 19. 3/5 in 22. 25% 24. Brüche mit Zehnerpotenz im Nenner 27. 6% von 250 28. 20 Halbe 30. Einhalb Vier Achtel 31. Zähler und Nenner eines Bruchs mit der gleichen Zahl multiplizieren 32. Zehn Zwanzigstel 33. von Hundert Seite 27 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Übung 30: Kreuzworträtsel Seite 28 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 7. Anordnen von Bruchteilen 7.1 Einstiegsaufgabe und Erläuterungen Ordne die folgenden Brüche der Größe nach: a) 1 5 1 2 1 7 1 3 b) 2 8 2 4 2 6 2 14 c) 2 8 2 4 2 6 2 14 d) 7 4 7 8 7 2 7 3 Wir finden folgende Regeln: Wir können Brüche mit gleichem Nenner direkt nach der Größe ordnen, dies gilt ebenfalls für Brüche mit dem gleichen Zähler. 1. Haben Brüche den gleichen Nenner, ist der Bruch mit dem kleineren Zähler auch der kleinere Bruch. 2 5 Beispiel: 4 5 2. Haben Brüche den gleichen Zähler, so ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer. Beispiel: 2 3 2 7 Haben zwei Brüche unterschiedliche Nenner und Zähler, müssen wir derart erweitern, dass entweder Zähler oder Nenner gleich werden. Beispiel: 1 3 und 2 7 Variante 1: 1 3 mit 2 erweitern Variante 2: 1 3 mit 7 und 2 7 2 6 2 7 mit 3 erweitern und wir vergleichen 7 21 und wir vergleichen Seite 29 2 6 6 21 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 7.2 Übungen Übung 31: Setze das richtige Anordnungszeichen! 1 6 1 4 2 7 2 5 3 2 9 4 Übung 32: 1 7 1 3 2 3 2 9 3 4 9 3 3 6 3 4 1 7 2 5 3 7 9 11 2 6 2 4 1 3 3 5 2 7 10 11 5 6 3 4 3 7 2 9 3 2 9 10 2 7 2 3 1 3 3 7 9 7 10 9 Setze das richtige Anordnungszeichen! 1 6 1 4 24% 0,2 1 2 0,95 7 3 0,15 0,3 2 3 1 5 0,45 19 20 2,5 5 6 3 4 60% 0,28 0,55 65% 1 8 3 5 2 5 0,15 72% 0,55 9 10 80 88 88% 80% Seite 30 3 8 0,22 3 2 4 5 4 5 2 7 6 9 0,35 3 9 150% 90% 80% Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Übung 33: 1. Textaufgaben Peter aber 2. 4 7 Hans und Peter streiten sich um eine Tüte mit 112 Gummibärchen. Hans möchte 5 8 davon, davon. Geht das überhaupt? Wenn ja, wer bekommt mehr? Sabine und Maike teilen sich eine Pizza. Sabine möchte 1 3 Maike möchte 2 5 davon. Wer von den beiden bekommt das größere Stück? 3. Paul kauft für die Kaninchen 40 kg Heu ein. 40% davon werden im ersten Monat verbraucht. In den kommenden zwei Monten wird jeweils 1 5 der ursprünglichen Menge verbraucht. Wie viele Kilogramm sind nach 3 Monaten noch vorhanden? Übung 34: Teste dein Wissen 1. Rechne aus: 1 5 1 8 2 9 von 10 von 1000 von 36 1 von 49 7 5 von 42 6 3 von 160 10 1 von 21 3 3 von 63 7 7 von 99 11 2. Bruchteile von Größen 3 4 7 8 von 40 kg von 128 € 5 6 7 2 von 12 von 50 3. Erweitern ergänze den fehlenden Zähler oder Nenner 3 4 1 4 20 7 7 3 2 3 3 7 21 22 5 12 28 75 4. Kürzen – Kürze vollständig! 200 320 250 350 135 180 128 512 300 750 64 384 Seite 31 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 5.1 Dezimalbrüche Schreibe als Dezimalbruch! 7 10 125 1000 3 5 13 20 275 100 17 25 5.2 Dezimalbrüche Schreibe als Bruch und kürze soweit wie möglich! 0,35 0,5 0,24 0,125 0,48 0,75 60% 40% 6.1 Prozent – wandle in Brüche um und kürze soweit wie möglich! 30% 25% 15% 8% 6.2 Prozent – Berechne! 30% von 150€ 35% von 1200kg 6.3 Prozent – Aufgabe Frau Superflink kauft einen Motorroller für 3500,- €. Sie zahlt 20% als Anzahlung. Den Rest zuzüglich 8% Zinsen zahlt sie in Raten von je 250€ zurück. Wie viele Monatsraten muss sie zahlen und wie hoch ist die letzte Rate? (Monate einschließlich der letzten Rate!) 7. Brüche ordnen Ordne in der Reihenfolge von größtem zu kleinstem Wert! a) 1 3 1 3 5 , , 2 8 6 4 6 Größter Bruch b) Kleinster Bruch 1 1 2 1 7 , , 3 2 3 4 12 Größter Bruch Kleinster Bruch Seite 32 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 8. 8.1 Teilbarkeitsregeln und Primfaktorzerlegung Teilbarkeitsregeln Häufig sieht man einer Zahl schon an, ob sie durch eine andere Zahl teilbar ist. So ist jedem bekannt, dass gerade Zahlen durch 2 teilbar sind und ungerade Zahlen nicht durch 2 teilbar sind. An dieser Stelle wollen wir die wichtigsten Teilbarkeitsregeln zusammenstellen. Diese musst du alle auswendig kennen! Eine Zahl ist durch . teilbar, wenn Beispiel 2 3 4 sie gerade ist. die Quersumme durch 3 teilbar ist. die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind. 56 423 224, 304 5 6 die letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist. sie gerade ist und die Quersumme durch 3 teilbar ist. die letzten drei Ziffern durch 8 teilbar sind. die letzte Ziffer eine 0 ist. 30, 35 126 8 10 8.2 Hinweise Die letzten beiden Ziffern werden als Zahl betrachtet. 00 zählt wie 100, 08 wie die Zahl 8. 2032 1270 Teilbarkeit von Summen und Differenzen Einstieg: Ist 119 durch 7 teilbar? Ist 144 durch 16 teilbar? Tipp: Versuche 119 in eine Summe von 2 Zahlen zu zerlegen, die beide jeweils durch 7 teilbar sind. 119 70 49 Da 70 und 49 durch 7 teilbar ist, ist auch 119 durch 7 teilbar. 144 160 – 16 Da 160 durch 16 und 16 durch 16 teilbar ist, ist auch 144 durch 16 teilbar. Regeln für die Teilbarkeit von Summen und Differenzen Sind die einzelnen Summanden einer Summe durch die gleiche Zahl teilbar, so ist auch die Summe durch diese Zahl teilbar. Sind Minuend und Subtrahend einer Differenz durch die gleiche Zahl teilbar, so ist auch die Differenz durch diese Zahl teilbar. Seite 33 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 8.3 Primfaktorzerlegung Definition Primzahl: Eine Zahl größer 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, nennt man Primzahl. Jede Zahl, die keine Primzahl ist durch andere Zahlen teilbar. Teilbar heißt auch, dass man die Zahl in ein Produkt aus Faktoren zerlegen kann. Beispiel: 36 4 9 Sind die einzelnen Faktoren, in die wir zerlegt haben, immer noch keine Primzahlen – siehe Beispiel, 4 und 9 sind keine Primzahlen – so kann man diese Faktoren so lange weiter in Faktoren zerlegen, bis nur noch Primzahlen Faktoren des Produkts sind. 36 4 9 2 2 3 3 Die Zerlegung einer Zahl in Faktoren, bis nur noch Primzahlen als Faktoren auftreten, nennt man Primfaktorzerlegung. Um eine Zahl in Primfaktoren zu zerlegen, ist es unbedingt nötig, das kleine 1x1 gut auswendig zu kennen. Tipp: 8.4 Auf der Homepage von Mathefritz (www.mathefritz.de) können beliebige Zahlen automatisch in Primfaktoren zerlegt werden. Probier es aus. kgV und ggT – kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler Um das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) oder den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von zwei Zahlen bestimmen zu können, müssen wir einfach die Zahlen in Primfaktoren zerlegen. Alles Weitere wird dann direkt ersichtlich: Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Beispiel: Suche das kgV von 12 und 18. 12 2 2 3 kgV: 18 2 3 3 2 2 3 3 36 Regel kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Zerlege die Zahlen in Primfaktoren. Im kgV müssen alle Primfaktoren von beiden Zahlen enthalten sein, also im Beispiel oben 2 mal die Zahl 2 und 2 mal die Zahl 3. Seite 34 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Beispiel: Suche den ggT von 12 und 18. 12 2 2 3 ggT: 18 2 3 3 23 6 Regel größter gemeinsamer Teiler (ggT) Zerlege die Zahlen in Primfaktoren. Im ggT müssen die gemeinsamen Primfaktoren von beiden Zahlen enthalten sein, also im Beispiel oben die Zahl 2 und die Zahl 3. Weitere Beispiele: kgV 24, 18 25, 15 27, 18 24 2 2 2 3; 18 2 3 3 25 5 5; 15 5 3 27 3 3 3; 18 2 3 3 kgV 2 2 2 3 3 72 kgV 3 5 5 75 kgV 2 3 3 3 54 ggT 25, 15 27, 18 24, 18 25 5 5; 15 5 3 27 3 3 3; 18 2 3 3 24 2 2 2 3; 18 2 3 3 ggT 5 ggT 3 3 9 ggT 2 3 6 Seite 35 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 9. 9.1 Abschlusstests Test 1 – Klassenarbeit (45 Min.) 1. Aufgabe: a) Was versteht man unter vollständigem Kürzen eines Bruchs? b) Welche einstelligen Zahlen dürfen im Nenner eines Bruchs stehen, damit man den Bruch in einen Dezimalbruch umwandeln kann? 2. Aufgabe – Berechne folgende Bruchteile a) c) 3 von 256 kg 8 6 von 120 min 15 2 7 3 5 b) d) von 126 von 1,5 7 8 e) von 152 € 3. Aufgabe – Wandle in einen Dezimalbruch um a) d) 2 5 21 28 b) e) 15 25 9 24 c) 7 35 4. Aufgabe – Wandle in einen Bruch um und kürze vollständig a) 0,45 d) 0,4 b) 0,38 e) 0,8 c) 0,95 5. Aufgabe – Ordne die folgenden Brüche von klein nach groß: 3 1 5 30 27 ; ; 24 5 30 20 36 6. Aufgabe – Berechne die Prozentwerte a) 25 von 2500 € b) 17 von 300 € d) 3 von 19 € e) 35 von 28 kg c) 70 von 280 € 7. Aufgabe – Textaufgabe Eine Vergleichsarbeit in der Schule liefert bei zwei Klassen folgendes Ergebnis: Klasse 5a mit 28 Schülern 1 2 3 4 5 4 8 7 4 4 6 1 Klasse 5b mit 24 Schülern 1 2 3 4 5 4 6 8 4 2 6 0 a) Stelle für die Klasse 5a die Anzahl der Noten je Notenstufe als gekürzten Bruchteil des Ganzen dar. b) Welche Klasse hat den größeren Anteil Einsen und welche Klasse den größten Anteil Fünfen? Seite 36 Skript und Aufgabensammlung Bruchteile 9.2 Test 2 – Klassenarbeit (45 Min.) 1. Aufgabe: Erkläre, wie man einen Bruch in einen Dezimalbruch umwandeln kann und wann dies möglich ist. 2. Aufgabe – Berechne folgende Bruchteile a) 3 8 c) 6 15 512 kg b) 2 7 von 105 von 180 min d) 5 6 von 1,8 von 7 9 e) von 171€ 3. Aufgabe – Wandle in einen Dezimalbruch um a) 3 5 d) 27 36 b) 10 25 e) 9 45 c) 7 28 c) 0,85 4. Aufgabe – Wandle in einen Bruch um und kürze vollständig a) 0,42 b) 0,28 d) 0,55 e) 0,92 5. Aufgabe – Ordne die folgenden Brüche von klein nach groß: 2 1 6 25 28 ; ; 24 5 30 30 49 6. Aufgabe – Berechne die Prozentwerte a) 25 von 2650 € b) 18 von 400 € d) 8 von 25 € e) 35 von 30 kg c) 60 von 380 € 7. Aufgabe – Textaufgabe Bei Elektrofuchs kostet ein neuer Fernseher 1400€. Bei Elektro-Markt kostet der gleiche Fernseher 1350 €. Du möchtest finanzieren und hast 300 Euro als Anzahlung. Elektrofuchs verlangt zusätzlich 8% Zinsen für den Restbetrag sowie eine einmalige Gebühr von 12 €. Diese Summe wird dann in 12 gleichen Monatsraten zurückbezahlt. Bei Elektro-Markt zahlst du 12 Monatsraten zu je 110 € für den Restbetrag nachdem du die 300 € angezahlt hast. a) Was kostet der Fernseher jetzt bei Elektrofuchs und Elektro-Markt, wenn alles bezahlt wurde. b) Wer ist günstiger, wie groß ist die Differenz? Seite 37